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PZ Fibonacciをチャートにインストールすると下記のようにデフォルトでは2つのフィボナッチリトレースメントとフィボナッチエクステンションが同時に自動描画されます。

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ハーブとフィボナッチ数列について解説しています。

ハーブのホームページ

ひまわりのらせん

「1、1、2、3、5,、8、 13、21、34、 55、89・・・」

植物の花びらを見ると、 ユリの花びらは3枚、桜や梅は5枚、コスモスは8枚、キク科植物は13枚、21枚、34枚、55枚 など、この 「フィボナッチ数列」 と呼ばれる数列に従って発生・成長しているものが多く見られます。

その他、 ひまわりの種の並びが螺旋状に21個、34個、55個、89個・・・となっていたり、葉の付き方や角度(葉序) 、 松ぼっくりのかさの並びやパイナップルの模様 、身近なところでは ピアノの1オクターブが黒鍵5鍵、白鍵8鍵で合計13鍵になっていたり 、様々なところにフィボナッチ数列が登場しています。

フィボナッチ数列について

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列とは、1,300年ほど前にインドの数学者が書物に記したものを紹介した イタリアのレオナルド=フィボナッチ(Leonardo Fibonacci、Leonardo Pisano 1170年頃~1250年頃) にちなんで名づけられた数列で、彼は兎のつがいの問題を考案しました。

1か月目には1つがいの兎 が、 2か月目には2つがい になり、3か月目には最初のつがいが1つがいの兎を生むので、 3つがい になります。

これを繰り返していくと、 4か月目には5つがい 、 5か月目には8つがい になり、 増え方がフィボナッチ数列に従っている ことが分かります。

フィボナッチ
産まれたばかり 生後1か月 生後2か月以降 つがいの合計
0か月後 1 0 0 1
1か月後 0 1 0 1
2か月後 1 0 1 2
3か月後 1 1 1 3
4か月後 2 1 2 5
5か月後 3 2 3 8
6か月後 5 3 5 13
7か月後 8 5 8 21
8か月後 138 13 34
9か月後 21 13 21 55
10か月後 34 21 34 89
11か月後 55 34 55 144
12か月後 89 55 89 233

黄金比と植物

このようにして数字を追いかけていくと、やがて 黄金比である1.618に近づいていく ことが分かります。

黄金比とは、二次方程式 x 2 − x − 1 = 0(1:x-1=x:1 → x(x-1)=1)の正の解 で、 ギリシア文字の φ(ファイ)やτ(タウ) で表され、 優れた芸術作品や建築物にこの比率が見られるほか、名刺や用紙サイズに利用されるなどバランスのとれた比率 として知られています。

<二次方程式 x 2 − x − 1 = 0 の解>
x 2 -x-1=0
(x-1/2) 2 -1/4-1=0
(x-1/2) 2 フィボナッチ -(5/4)=0(平方完成)
(x-1/2) 2 =(5/4)
x-(1/2)=±√(5/4)
x=(1/2)±√(5/4)
x=(1/2)±(√5)/2
x=(1±√5)/2
x=±1.618033988749895

そして、 この黄金比で円周360度を2分した際の狭い方の角度を「黄金角」 と言うのですが、 植物の葉は光がまんべんなく当たるよう黄金角分に位置をずらして付いている ものが多く見られます(2/5葉序や3/8葉序)。

バジル

葉の付き方は「葉序(ようじょ)」と呼ばれており、どの程度の角度でずれるかは植物の種類によって決まっています。

このように、葉っぱの開度に級数的関係があることを シンパー・ブラウンの法則(Schimper‐Braun's Law) と言い、 ドイツの植物学者K.F.シンパー(1803~1867)とA.ブラウン(1805~1877)が1850年代に提唱 フィボナッチ しました。

これは、 葉序の開度と全周の比がいずれも、「1/n、1/(n+1)、2/(2n+1)、3/(3n+2)、5/(5n+3)、8/(8n+5)・・・ 」のような数列のうちのどれかに該当するという法則 で、「n =2」とした主列「1/2、1/3、2/5、3/8・・・」は最も普通に見られる葉序なのですが、 これがフィボナッチ数列 フィボナッチ になっており、「n =2以外」の副列と区別されています。

1/2葉序・・・(360×1) ÷ 2=180度
1/3葉序・・・(360×1) ÷ 3=120度
2/5葉序・・・(360×2) ÷ 5=144度
3/8葉序・・・(360×3) ÷ 8=135度
5/13葉序・・・(360×5) ÷ 13=138.4615~度
8/21葉序・・・(360×8) ÷ フィボナッチ 21=137.1428~度

フィボナッチ数列を神聖視することへの疑問

競馬

ここまで、 フィボナッチ数列や黄金比、黄金角と植物の深い関連性 について見てきました。

しかし、実際には アブラナの花びらは4枚、サフランは6枚 だったり、7枚や11枚、18枚の花などの例外も多くあるほか、 葉序に関しても厳密には黄金角ではなくその近似値 となっており、 自然界すべてがフィボナッチ数列や黄金比に従っているわけではない です。

つまり、自然界はある程度フィボナッチ数列に沿っているものの、 すべての事象に関して単純に数学的な数式をもって自然やその根本を説明できるものではない ので、 特にフィボナッチ数列を神聖視する必要はありません 。

自然界の作り出す規則性を発見して楽しむ分には問題ない のですが、フィボナッチ数列を株価や為替の分析に使ったり、 「フィボナッチ馬券学で一攫千金!」などと競馬にまでフィボナッチ数列を使うような極端な例 も出てきています。

しかし、投資においては上昇や下落分の半値戻しや3分の2、3分の1戻しがセオリーとなっており、 たまたま0.618や0.382が3分の2や3分の1に近いだけというトリック で、フィボナッチ数列の数字を都合のいいように取り出せばいくらでも応用が利く状態になっています。

実際に投資をしてみれば分かりますが、0.618や0.382のような数値でぴったり反転することはまず無く、 それで儲かるなら億万長者ばかりになっている わけで、都合の良い時だけ引き合いに出される印象を受けます。

馬券に関しては、 馬番やオッズをフィボナッチ数列に照らし合わせて分析するなどとさらに意味不明なもの になっており、 「何でもかんでもフィボナッチ数列頼み」というのはリスクが伴うことに注意を払うべき だと思われます。

※なお、4、7、11、18・・・という並び方はフィボナッチ数列と類似した 「リュカ数列」 と呼ばれるもので、2、5、8、11、14・・・のように はじめの数に同じ数を次々と加えてできる「等差数列」 や、2、4、8、16、32・・・のように はじめの数に同じ数を次々と掛けてできる「等比数列」 などもあり、植物の規則的に成長する部分にはフィボナッチ数列でなくとも何らかの規則性が見いだせる可能性 (何でもこじつけできる) があります。

フィボナッチリトレースメント&エクステンションを同時に自動表示するインジケーター「PZ Fibonacci」

PZ Fibonacciのチャート

PZ Fibonacciをチャートにインストールすると下記のようにデフォルトでは2つのフィボナッチリトレースメントとフィボナッチエクステンションが同時に自動描画されます。

ビックまたはスモール表示を選択可能

赤く太いラインと細く水色のラインの2種類のラインが同時表示されていますが、赤ラインがビックフィボナッチで水色ラインがスモールフィボナッチです。デフォルトでは両方自動表示する設定になっていますが、パラメーター設定で片方だけ表示するように変更できます。

スモールフィボナッチが表示されない相場

デフォルト設定ではローソク足12本以上の高値安値でラインを引くようになっていますが、ビックフィボナッチに関しては関係ないようで相場によってはスモールフィボナッチが表示されない時もあります。 フィボナッチ フィボナッチ

PZ Fibonacciまとめ

PZ Fibonacciの使い方としては特別な使い方というよりは通常のフィボナッチと同様な使い方です。

フィボナッチリトレースメントの使い方と基本

フィボナッチリトレースメントはフィボナッチの中の1種類で下記のように種類があります フィボナッチの種類 •フィボナッチリトレースメント •フィボナッチファン •フィボナッチエクスパンション •フィボナッチチャネル .

自分がラインを引くよりPZ Fibonacciだと自動で引いてくれるだけ便利というわけですが、 PZ Fibonacciはリペイントします。

過去のフィボナッチラインはストラテジーテスターなどを使用してビジュアルを表示することで動作を確認するとよく分かりますが、 個人的にはスモールフィボナッチは短期足だとあまり使い物にならない感じを受けていますのでビックフィボナッチだけで十分 だと思っています。

多くの場合利確で使用するシーンが多いと勝手に思っていますが、この フィボナッチエクステンションだけだと少々不安なので、もう一つの指標と一緒に重なった時にはその一歩手前で利確する ようにしています。

このもう一つの指標についてはF15-friendsやF30-hybridのマニュアルで詳しく解説していますのでそちらをご覧ください。

◆高勝率15分足専用サイン「F15-easy」◆

◆15分足専用サイン「F15-friends」◆

こちらも 億トレ監修・大手プロップディーラーの手法をロジック化し 、シンプルながらも高勝率で1日200pipsを獲得した日も珍しくありません。

◆30分足専用サイン「F30-hybrid」◆

アラート機能も付いているので、チャートに張り付かなくてもトレード可能です。
トレード回数は少ないですが、少し長めの時間足で30~50pipsを狙う手法です。
大きなトレンドが発生すれば100pips以上獲れることがあります。

フィボナッチ数列と面積1のパラドックス

面積1のパラドックスの定番

なんと、両端の数の積 ac と真ん中の数の2乗 b 2 との差が 1 である、というわけですね。
ちょっと検証してみましょう。
例えば、3, 5, 8 の場合は 3×8-5 2 =24-25=-1 ですね。
そして、34, 55, 89 の場合は 34×89-55 2 =3026-3025=1 となる。
どの隣接3数をとるかによって引き算結果は変わるんだけれど、どっちにしても差は必ず 1 になるわけです(普通、「差」といえば大きい数から小さい数を引いた値のことを指しますもんね)。 フィボナッチ
なんとも不思議。

実を言うと、この法則はすでに証明されていて、「カッシーニ - シムソンの定理」と呼ばれるそうです。
その定理を以下に示します。
余力のある方々は、手頃な演習問題として証明してみるのもいいでしょう。

a[k+1]^2-a[k]・a[k+2]=±1

3.おぉ! 同じパラドックス話だ!

34×55バージョン

これまで、2つの話をしました。
セクション1は「面積1のピースが余っちゃう!」という話。
セクション2は「ac と b 2 の差は必ず 1 になる!」という話。
どちらも、意味合いとしては「差が1だけ生じる」と言えますね。
実は、一般化のカギはここにあるんです。

1で紹介した2つの図形は タテ13×ヨコ21 のサイズでした。
この 13 と 21 はフィボナッチ数列の中に現れています。
果たして、これは偶然なのか……?

  • フィボナッチ数列の中の隣り合う2つの数 c, d(c<d)を使って、タテc×ヨコdサイズの直角三角形モドキを作る。
    すると、同じようなパラドックス話を展開することができる。

実際にやってみましょう。
1は c=13, d=21 の場合でした。 フィボナッチ
ここでは c=34, d=55 としてみましょう。
さぁ、図3-1 の通りです!

おぉ、なんと言うことか。
セクション1で書いたパラドックスそのまんまの話ができあがってしまった。
すごいね!
「なんか分割して並べかえたら面積1のピースが余ったよ😅」って、まったく同じ話なんだもの!

4.一般的な話

一般的な図

フィボナッチ数列の中の隣り合う4つの数 a, b, c, d (a<b<c<d) を拾って、図4-1 の通りに図形を作ってみる。 フィボナッチ
すると、図形内部の長方形と正方形の面積は常に 1 だけ違うんです。
その理由は、セクション2で述べた「ac と b 2 の差は 1 である」です。

フィボナッチ数列において隣り合う3数は足し算の関係にある、ということを思い出しましょう。
a+b=c と b+c=d が成り立っていて、図4-1 は正しい図です。

ただ、注意しなければいけないのは、ac-b 2 =1 だけでなく ac-b 2 =-1 が成り立つ場合もあるということ。
つまり、隣接4数 a, b, c, d の選び方によっては長方形の方が広い場合もあるし、逆に正方形の方が広い場合もあるんです。

ということは、パラドックス話をもう1種類作れますね。
セクション1と3では「面積1のピースが余った!」という話を紹介したけれど、逆の話もできる。
「あれ? 面積1のピースが足りないぞ?」なんてね。

ちなみに、1の話は a=5, b=8, c=13, d=21 の場合、3の話は a=13, b=21, c=34, d=55 の場合に相当します。

いや〜すごい!
フィボナッチ数列ひとつで、いろんなサイズのパラドックス話ができる。
こうなったら、大きな直角三角形モドキをつくって独自のパラドックス話を講じてみるのも一興かもしれません。
例えば、タテ233×ヨコ377 サイズなんてどうでしょ?

5.もうひとつのパラドックス話

もうひとつ

もうひとつ、似たようなパラドックス話がありますよね。
図5-1 のように、正方形を4つに分割して並べかえると……

これも「1違いパラドックス」の定番だけれど、図5-1 をよく見ると、正方形&長方形ともに各辺の目盛り数字には 5, 8, 13 がある。
フィボナッチ数列に存在する数字なんです。
そして、長方形と正方形の面積計算に現れる数字は 8, 13, 21。
これもフィボナッチ数列に存在している。

  • フィボナッチ数列の隣り合う3つの数 b, c, d (b<c<d) を拾い、一辺を c とする正方形 と タテ b ×ヨコ d サイズの長方形を作る。
    これで、同じようなパラドックス話を展開できる。

もうひとつ

フィボナッチ数列の中の隣り合う4つの数 a, b, c, d(a<b<c<d)を拾って、図5-2 の通りに正方形と長方形を作る。
すると、この2つの面積は常に 1 だけ違うんです。
なぜなら、b, c, d はフィボナッチ数列の隣り合う3数だから。
セクション2で「両端の数の積と真ん中の数の2乗との差が 1 である」と述べました。このおかげで bd と c 2 の差は必ず 1 になるわけなんですね。

もちろん、セクション4と同様に、4数 a, b, フィボナッチ c, d の選び方によっては bd-c 2 =1 だけでなく bd-c 2 =-1 が成り立つ場合もあります。
だから、「面積1減った!」という話のほかに「面積1増えた!」なんていう話もできたりするわけです。

足し算の連続で作られたフィボナッチ数列。
これがパズルの世界にも関わっている。
面白いモンです。

オマケとして、フィボナッチ数列に関してもうひとつ。
セクション1や3にある図を見ると、少し濃いめの直角三角形が2つあって斜辺がほとんど同じ傾きになってますよね。
これにもちょっとした秘密がありまして。

濃いめの直角三角形、縦横の長さを見てみましょう。
1では、小さい方は 5 と 8、大きい方は 8 と 13 ですね。
3では、小さい方は 13 と 21、大きい方は 21 と 34 です。
この数字達をよく見ると……、フィボナッチ数列の中で隣り合う数になっているんです。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……

斜辺の傾き具合は、直角を挟む2辺の縦横比によって決まります。
そして、その縦横比が等しければ、傾きも同じになるんですね。
では、図6-1 にある4つの直角三角形の縦横比をそれぞれ計算してみましょう。
ヨコ幅をタテ幅で割り算してみます。

おおぉ! ずいぶん似たような値が並びましたね。
縦横比はどれも 1:1.61 くらいかな😃

なんと! 先の4つよりもさらに値が似ている!
縦横比は 1:1.618 くらいですね。

この 1.618 という数字、何者なんでしょう?
……と言っても、ピーンときた方々は多いかもしれません。
有名な値ですもんね。

そうです。
この 1:1.618 という比、一般に「黄金比」と呼ばれているんです。
この黄金比、フィボナッチ数列との間には関係がひとつありまして。
実は、こんなことが成り立つんです。

隣り合う2項の比=1:(1+√5)/2

セクション1や3にある「変形前・変形後」の図形って、本当に合同にしか見えませんでしたよね。
それは、直角三角形の縦横比がすべて似通った値だったからなんです。
だから、斜辺の傾きが同じにしか見えず、面積1のパラドックスに悩まされていたというわけなんですね。

ちなみに、2の「カッシーニ - シムソンの定理」と同様に、この黄金比に関する性質もすでに証明されています。
その定理を以下に示します。

lim[n→∞] a[n+1]/a[n]=(1+√5)/2

黄金比は実にさまざまなモノと関係が深かったりします。
フィボナッチ数列のほかには、正五角形の対角線とか正20面体とか。
興味があれば、いろいろ調べてみてください。

フィボナッチ

現在は目視で フィボナッチ
再帰ありだと O(1+1+n-2)=O(n)
再帰なしだと O(1+1+3*n)=O(フィボナッチ n)
と計算量を考えていますが、再帰あり・なしで同じになるのは不自然だと考えています。

実際に、フィボナッチ数列のアルゴリズムと計算量の参考Webページでは、
再帰ありのn番目のフィボナッチ数を求めるプログラムの計算量は
O( ((1 + sqrt(5)) / 2)n-1 ) (つまりO(2^n)?)と書かれています。

該当のソースコード

###試したこと
数学的に考えると
再帰ありのフィボナッチ数列は以下の漸化式になり(cはnに関係ない定数)

O(フィボナッチ n) = c (n=0 or 1のとき)

O(n) フィボナッチ = O(n-1) + O(n-2) + c (n>=2のとき)

n>=2の時のO(n)を展開すると以下のようになり、再帰ありのフィボナッチ数列の計算量が O(n) なのか O(2^n) なのかもしくは別の記述になるのか更にわからなくなってしまいました。

補足情報(FW/ツールのバージョンなど)

  • 質問内容が明確
  • 自分も答えを知りたい
  • 質問者以外のユーザにも役立つ
  • プログラミングに関係のない質問
  • やってほしいことだけを記載した丸投げの質問
  • 問題・課題が含まれていない質問
  • 意図的に内容が抹消された質問
  • フィボナッチ
  • 過去に投稿した質問と同じ内容の質問
  • 広告と受け取られるような投稿

2019/05/11 04:43 編集

2019/05/11 06:12 編集

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【不具合修正のお知らせ】 2022年6月15日(水)11時20分頃 ~ 2022年6月15日(水)16時00分頃にかけてサイトにアクセスしづらい状況が続いておりましたが、現在は復旧が完了しております。ご迷惑をおかけし申し訳ございませんでした。

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